List of integrals of inverse trigonometric functions

The following is a list of integrals (antiderivative formulas) for integrands that contain inverse trigonometric functions (also known as "arc functions"). For a complete list of integral formulas, see lists of integrals.

Note: There are three common notations for inverse trigonometric functions. The arcsine function, for instance, could be written as "sin⁻¹", "asin", or, as is used on this page, "arcsin".

Arcsine

:$int\; arcsin\; x\; ,dx\; =\; xarcsin\; x+\; sqrt\{1-x^2\}$

:$int\; arcsin\; frac\{x\}\{c\}\; dx\; =\; x\; arcsin\; frac\{x\}\{c\}\; +\; sqrt\{c^2\; -\; x^2\}$

:$int\; x\; arcsin\; frac\{x\}\{c\}\; dx\; =\; left(\; frac\{x^2\}\{2\}\; -\; frac\{c^2\}\{4\}\; ight)\; arcsin\; frac\{x\}\{c\}\; +\; frac\{x\}\{4\}\; sqrt\{c^2\; -\; x^2\}$

:$int\; x^2\; arcsin\; frac\{x\}\{c\}\; dx\; =\; frac\{x^3\}\{3\}\; arcsin\; frac\{x\}\{c\}\; +\; frac\{x^2\; +\; 2c^2\}\{9\}\; sqrt\{c^2\; -\; x^2\}$

:$int\; x^n\; arcsin\; x\; dx\; =\; frac\{1\}\{n\; +\; 1\}\; left(\; x^\{n\; +\; 1\}\; arcsin\; x\; +\; frac\{x^n\; sqrt\{1\; -\; x^2\}\; -\; n\; x^\{n\; -\; 1\}\; arcsin\; x\}\{n\; -\; 1\}\; +\; n\; int\; x^\{n\; -\; 2\}\; arcsin\; x\; dx\; ight)$

Arccosine

:$int\; arccos\; x\; ,dx\; =\; xarccos\; x-\; sqrt\{1-x^2\}$

:$int\; arccos\; frac\{x\}\{c\}\; dx\; =\; x\; arccos\; frac\{x\}\{c\}\; -\; sqrt\{c^2\; -\; x^2\}$

:$int\; x\; arccos\; frac\{x\}\{c\}\; dx\; =\; left(\; frac\{x^2\}\{2\}\; -\; frac\{c^2\}\{4\}\; ight)\; arccos\; frac\{x\}\{c\}\; -\; frac\{x\}\{4\}\; sqrt\{c^2\; -\; x^2\}$

:$int\; x^2\; arccos\; frac\{x\}\{c\}\; dx\; =\; frac\{x^3\}\{3\}\; arccos\; frac\{x\}\{c\}\; -\; frac\{x^2\; +\; 2c^2\}\{9\}\; sqrt\{c^2\; -\; x^2\}$

Arctangent

:$int\; arctan\; x\; ,dx\; =\; xarctan\; x-\; frac\{1\}\{2\}ln|1+x^2|$

:

:

:

:

Arccosecant

:$int\; arccsc\; x\; ,dx\; =\; xarccsc\; x+\; lnleft|\; x+xsqrt$x^2-1}over x^2} ight|

:$int\; arccsc\; frac\{x\}\{c\}\; dx\; =\; x\; arccsc\; frac\{x\}\{c\}\; +\; \{c\}\; ln\{(frac\{x\}\{c\}(sqrt\{1-frac\{c^2\}\{x^2$ + 1))}

:$int\; x\; arccsc\; frac\{x\}\{c\}\; dx\; =\; frac\{x^2\}\{2\}\; arccsc\; frac\{x\}\{c\}\; +\; frac\{cx\}\{2\}\; sqrt\{1-frac\{c^2\}\{x^2$

Arcsecant

:$int\; arcsec\; x\; ,dx\; =\; xarcsec\; x-\; lnleft|\; x+xsqrt$x^2-1}over x^2} ight|

:$int\; arcsec\; frac\{x\}\{c\}\; dx\; =\; x\; arcsec\; frac\{x\}\{c\}\; +\; frac\{x\}\{c\; |x\; ln\; left|\; x\; pm\; sqrt\{x^2\; -\; 1\}\; ight|$

:$int\; x\; arcsec\; x\; dx\; =\; frac\{1\}\{2\}\; left(\; x^2\; arcsec\; x\; -\; sqrt\{x^2\; -\; 1\}\; ight)$

:$int\; x^n\; arcsec\; x\; dx\; =\; frac\{1\}\{n\; +\; 1\}\; left(\; x^\{n\; +\; 1\}\; arcsec\; x\; -\; frac\{1\}\{n\}\; left\; [\; x^\{n\; -\; 1\}\; sqrt\{x^2\; -\; 1\}\; +\; (1\; -\; n)\; left(\; x^\{n\; -\; 1\}\; arcsec\; x\; +\; (1\; -\; n)\; int\; x^\{n\; -\; 2\}\; arcsec\; x\; dx\; ight)\; ight]\; ight)$

Arccotangent

:$int\; arccot\; x\; ,dx\; =\; xarccot\; x+\; frac\{1\}\{2\}\; ln|1+x^2|$

:$int\; arccot\; frac\{x\}\{c\}\; dx\; =\; x\; arccot\; frac\{x\}\{c\}\; +\; frac\{c\}\{2\}\; ln(c^2\; +\; x^2)$

:$int\; x\; arccot\; frac\{x\}\{c\}\; dx\; =\; frac\{c^2\; +\; x^2\}\{2\}\; arccot\; frac\{x\}\{c\}\; +\; frac\{c\; x\}\{2\}$

:$int\; x^2\; arccot\; frac\{x\}\{c\}\; dx\; =\; frac\{x^3\}\{3\}\; arccot\; frac\{x\}\{c\}\; +\; frac\{c\; x^2\}\{6\}\; -\; frac\{c^3\}\{6\}\; ln(c^2\; +\; x^2)$

:$int\; x^n\; arccot\; frac\{x\}\{c\}\; dx\; =\; frac\{x^\{n\; +\; 1${n+1} arccot frac{x}{c} + frac{c}{n + 1} int frac{x^{n + 1{c^2 + x^2} dx, quad n eq 1