Riccati equation

Riccati equation

In mathematics, a Riccati equation is any ordinary differential equation that has the form: y' = q_0(x) + q_1(x) , y + q_2(x) , y^2 It is named after Count Jacopo Francesco Riccati (1676-1754).

Reduction to a second order linear equation

As explained on pages 23-25 of Ince's book, the non-linear Riccati equation can always be reduced to a second order linear ordinary differential equation (ODE). Indeed if:y'=q_0(x) + q_1(x)y + q_2(x)y^2!then, wherever q_2 is non-zero, v=yq_2 satisfies a Riccati equation of the form:v'=v^2 + P(x)v +Q(x),!where Q=q_2q_0 and P=q_1+left(frac{q_2'}{q_2} ight).In fact:v'=(yq_2)'= y'q_2 +yq_2'=(q_0+q_1 y + q_2 y^2)q_2 + v frac{q_2'}{q_2}=q_0q_2 +left(q_1+frac{q_2'}{q_2} ight) v + v^2.!Substituting v=-u'/u, it follows that u satisfies the linear 2nd order ODE:u"-P(x)u' +Q(x)u=0 !since:v'=-(u'/u)'=-(u"/u) +(u'/u)^2=-(u"/u)+v^2!so that:u"/u= v^2 -v'=-Q -Pv=-Q +Pu'/u!and hence:u" -Pu' +Qu=0.!A solution of this equation will lead to a solution y=-u'/(q_2u) of the original Riccati equation.

Application to the Schwarzian equation

An important application of the Riccati equation is to the 3rd order Schwarzian differential equation:S(w):=(w"/w')' - (w"/w')^2/2 =fwhich occurs in the theory of conformal mapping and univalent functions. In this case the ODEs are in the complex domain and differentiation is with respect to a complex variable. (The Schwarzian derivative S(w) has the remarkable property that it is invariant under Möbius transformations, i.e. S(aw+b/cw+d)=S(w) whenever ad-bc is non-zero.) The function y=w"/w'satisfies the Riccati equation:y'=y^2/2 +f.By the above y=-2u'/u where u is a solution of the linear ODE:u"+ (1/2) fu=0.Since w"/w'=-2u'/u, integration gives w'=C /u^2for some constant C. On the other hand any other independent solution U of the linear ODE has constant non-zero Wronskian U'u-Uu' which can be taken to be C after scaling.Thus:w'=(U'u-Uu')/u^2=(U/u)'so that the Schwarzian equation has solution w=U/u.

Obtaining solutions by quadrature

The correspondence between Riccati equations and 2nd order linear ODEs has other consequences. For example if one solution of a 2nd order ODE is known, then it is known that another solution can be obtained by "quadrature", i.e. a simple integration. The same holds true for the Riccati equation. In fact, if one can find one particular solution y_1, the general solution is obtained as: y = y_1 + u Substituting: y_1 + u in the Riccati equation yields: y_1' + u' = q_0 + q_1 cdot (y_1 + u) + q_2 cdot (y_1 + u)^2,and since: y_1' = q_0 + q_1 , y_1 + q_2 , y_1^2 : u' = q_1 , u + 2 , q_2 , y_1 , u + q_2 , u^2 or: u' - (q_1 + 2 , q_2 , y_1) , u = q_2 , u^2, which is a Bernoulli equation. The substitution that is needed to solve this Bernoulli equation is: z =frac{1}{u} Substituting: y = y_1 + frac{1}{z} directly into the Riccati equation yields the linear equation: z' + (q_1 + 2 , q_2 , y_1) , z = -q_2 A set of solutions to the Riccati equation is then given by: y = y_1 + frac{1}{z} where z is the general solution to the aforementioned linear equation.

External links

* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0123.pdf Riccati Equation] at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
* [http://mathworld.wolfram.com/RiccatiDifferentialEquation.html Riccati Differential Equation] at Mathworld

Bibliography

*cite book|last=Hille|first=Einar|title=Ordinary Differential Equations in the Complex Domain|year=1997|origyear=1976|publisher=Dover Publications|location=New York|id=ISBN 0-486-69620-0
*cite book|last=Ince|first=E. L.|title=Ordinary Differential Equations|year=1956|origyear=1926|publisher=Dover Publications|location=New York
*cite book|last=Nehari|first=Zeev|title=Conformal Mapping|year=1975|origyear=1952|publisher=Dover Publications|location=New York|id=ISBN 0-486-61137-X
*cite book|last=Polyanin|first=Andrei D.|coauthors=and Valentin F. Zaitsev|title=Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations|year=2003|edition=2nd ed.|publisher=Chapman & Hall/CRC|location=Boca Raton, Fla.|id=ISBN 1-58488-297-2


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