Erdős–Kac theorem

Erdős–Kac theorem

In number theory, the Erdős–Kac theorem, named after Paul Erdős and Mark Kac, states that if &omega;("n") is the number of distinct prime factors of "n", then for any fixed a < b,

:lim_{N ightarrow infty} frac {1}{N} left | left{ n leq N : a le frac{omega(n) - ln ln N}{sqrt{ln ln N le b ight} ight | = int_a^b varphi(u),du

where

:varphi(u) = frac{1}{sqrt{2pi e^{-u^2/2}

is the probability density function of the standard normal distribution, which occurs frequently in probability theory and statistics.

References

* Paul Erdős and Mark Kac, "The Gaussian Law of Errors in the Theory of Additive Number Theoretic Functions", "American Journal of Mathematics", volume 62, No. 1/4, (1940), pages 738–742.

External links

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* [http://www.naturalnumbers.org/composites.html#generator Distinct prime factor generator]


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