Càdlàg


Càdlàg

In mathematics, a càdlàg (French "continue à droite, limite à gauche"), RCLL (“right continuous with left limits”), or corlol (“continuous on (the) right, limit on (the) left”) function is a function defined on the real numbers (or a subset of them) that is everywhere right-continuous and has left limits everywhere. Càdlàg functions are important in the study of stochastic processes that admit (or even require) jumps, unlike Brownian motion, which has continuous sample paths. The collection of càdlàg functions on a given domain is known as Skorokhod space.

Two related terms are càglàd, standing for "continue à gauche, limite à droite", the left-right reversal of càdlàg, and càllàl for"continue à l'un, limite à l’autre" (continuous on one side, limit on the other side), for a function which is interchangeably either càdlàg or càglàd at each point of the domain.

Contents

Definition

Cumulative distribution functions are examples of càdlàg functions.

Let (M, d) be a metric space, and let ER. A function ƒ: EM is called a càdlàg function if, for every tE,

  • the left limit ƒ(t−) := lims↑tƒ(s) exists; and
  • the right limit ƒ(t+) := lims↓tƒ(s) exists and equals ƒ(t).

That is, ƒ is right-continuous with left limits.

Examples

  • All continuous functions are càdlàg functions.
  • As a consequence of their definition, all cumulative distribution functions are càdlàg functions.
  • The right derivative f+' of any convex function f defined on an open interval, is an increasing cadlag function.

Skorokhod space

The set of all càdlàg functions from E to M is often denoted by D(E; M) (or simply D) and is called Skorokhod space after the Ukrainian mathematician Anatoliy Skorokhod. Skorokhod space can be assigned a topology that, intuitively allows us to"wiggle space and time a bit" (whereas the traditional topology of uniform convergence only allows us to "wiggle space a bit"). For simplicity, take E = [0, T] and M = Rn — see Billingsley for a more general construction.

We must first define an analogue of the modulus of continuity, ϖ′ƒ(δ). For any FE, set


    w_{f} (F) := \sup_{s, t \in F} | f(s) - f(t) |

and, for δ > 0, define the càdlàg modulus to be


    \varpi'_{f} (\delta) := \inf_{\Pi} \max_{1 \leq i \leq k} w_{f} ([t_{i - 1}, t_{i})),

where the infimum runs over all partitions Π = {0 = t0 < t1 < … < tk = T}, kN, with mini (ti − ti−1) > δ. This definition makes sense for non-càdlàg ƒ (just as the usual modulus of continuity makes sense for discontinuous functions) and it can be shown that ƒ is càdlàg if and only if ϖ′ƒ(δ) → 0 as δ → 0.

Now let Λ denote the set of all strictly increasing, continuous bijections from E to itself (these are "wiggles in time"). Let


    \| f \| := \sup_{t \in E} | f(t) |

denote the uniform norm on functions on E. Define the Skorokhod metric σ on D by


    \sigma (f, g) := \inf_{\lambda \in \Lambda} \max \{ \| \lambda - I \|, \| f - g \circ \lambda \| \},

where I: EE is the identity function. In terms of the"wiggle" intuition, ||λ − I|| measures the size of the"wiggle in time", and ||ƒ − g○λ|| measures the size of the"wiggle in space".

It can be shown that the Skorokhod metric is, indeed a metric. The topology Σ generated by σ is called the Skorokhod topology on D.

Properties of Skorokhod space

Generalization of the uniform topology

The space C of continuous functions on E is a subspace of D. The Skorokhod topology relativized to C coincides with the uniform topology there.

Completeness

It can be shown[citation needed] that, although D is not a complete space with respect to the Skorokhod metric σ, there is a topologically equivalent metric σ0 with respect to which D is complete.

Separability

With respect to either σ or σ0, D is a separable space. Thus, Skorokhod space is a Polish space.

Tightness in Skorokhod space

By an application of the Arzelà–Ascoli theorem, one can show that a sequence (μn)n=1,2,… of probability measures on Skorokhod space D is tight if and only if both the following conditions are met:


    \lim_{a \to \infty} \limsup_{n \to \infty} \mu_{n}\big( \{ f \in D \;|\; \| f \| \geq a \} \big) = 0,

and


    \lim_{\delta \to 0} \limsup_{n \to \infty} \mu_{n}\big( \{ f \in D \;|\; \varpi'_{f} (\delta) \geq \varepsilon \} \big) = 0\text{ for all }\varepsilon > 0.

Algebraic and topological structure

Under the Skorokhod topology and pointwise addition of functions, D is not a topological group.[citation needed]

References

  • Billingsley, Patrick (1995). Probability and Measure. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc.. ISBN 0-471-00710-2. 
  • Billingsley, Patrick (1999). Convergence of Probability Measures. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc.. ISBN 0-471-19745-9. 

Wikimedia Foundation. 2010.

Look at other dictionaries:

  • Càdlàg — En mathématiques, une fonction càdlàg (continue à droite, limite à gauche) est une fonction définie sur un ensemble E de nombres réels qui est continue à droite en tout point de E et admet une limite à gauche tout point de E. Les fonctions càdlàg …   Wikipédia en Français

  • Càdlàg — Als Càdlàg Funktion (auch Cadlag) (Französisch: continue à droite, limitée à gauche ) bezeichnet man eine Funktion f, die auf den reellen Zahlen oder einer Teilmenge davon definiert ist und folgende Eigenschaften erfüllt: In jedem Punkt… …   Deutsch Wikipedia

  • Cadlag — Als Càdlàg Funktion (auch Cadlag) bezeichnet man eine Funktion f, die auf den reellen Zahlen oder einer Teilmenge davon definiert ist und folgende Eigenschaften erfüllt: In jedem Punkt existieren die links und rechtsseitigen Grenzwerte der… …   Deutsch Wikipedia

  • Itō calculus — Itō calculus, named after Kiyoshi Itō, extends the methods of calculus to stochastic processes such as Brownian motion (Wiener process). It has important applications in mathematical finance and stochastic differential equations.The central… …   Wikipedia

  • Caglad — Als Càdlàg Funktion (auch Cadlag) bezeichnet man eine Funktion f, die auf den reellen Zahlen oder einer Teilmenge davon definiert ist und folgende Eigenschaften erfüllt: In jedem Punkt existieren die links und rechtsseitigen Grenzwerte der… …   Deutsch Wikipedia

  • Càglàd — Als Càdlàg Funktion (auch Cadlag) bezeichnet man eine Funktion f, die auf den reellen Zahlen oder einer Teilmenge davon definiert ist und folgende Eigenschaften erfüllt: In jedem Punkt existieren die links und rechtsseitigen Grenzwerte der… …   Deutsch Wikipedia

  • Ladcag — Als Càdlàg Funktion (auch Cadlag) bezeichnet man eine Funktion f, die auf den reellen Zahlen oder einer Teilmenge davon definiert ist und folgende Eigenschaften erfüllt: In jedem Punkt existieren die links und rechtsseitigen Grenzwerte der… …   Deutsch Wikipedia

  • Làdcàg — Als Càdlàg Funktion (auch Cadlag) bezeichnet man eine Funktion f, die auf den reellen Zahlen oder einer Teilmenge davon definiert ist und folgende Eigenschaften erfüllt: In jedem Punkt existieren die links und rechtsseitigen Grenzwerte der… …   Deutsch Wikipedia

  • Quadratic variation — In mathematics, quadratic variation is used in the analysis of stochastic processes such as Brownian motion and martingales. Quadratic variation is just one kind of variation of a process. Definition Suppose that X t is a real valued stochastic… …   Wikipedia

  • Semimartingale — In probability theory, a real valued process X is called a semimartingale if it can be decomposed as the sum of a local martingale and an adapted finite variation process.Semimartingales are good integrators , forming the largest class of… …   Wikipedia


Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.